VCSE - az ismert legtávolabbinak gyanított csillag felvétele - APOD, HST
VCSE – az ismert legtávolabbinak gyanított csillag felvétele – APOD, HST

Az ősrobbanás-elmélet néven ismert, számtalan megfigyelési bizonyítékkal alátámasztott kozmológia szerint Univerzumunk története kb. 13,8 milliárd évvel ezelőtt kezdődött. A méretét gyorsan növelő Univerzumban az első csillagok a tágulás kezdete után 200-300 millió évvel kezdtek el világítani. Ezek sokkal nagyobbak és fényesebbek voltak a maiaknál, viszont gyakorlatilag egyáltalán nem tartalmaztak asztrofizikai értelemben vett fémeket, vagyis hidrogénnél és héliumnál nehezebb elemeket. Őket hívjuk III. populációs csillagoknak.

A HD 140283 is kb. ekkor formálódott, ez a Galaxisban ismert legősibb csillag. Ugyanakkor ő már a II. populációba tartozik: a III. populáció szupernóvái fémekkel feldúsították a környező csillagközi felhőket, az abból létrejövő II. populációs csillagok ugyan még fémszegények, de a fémek jelenléte már annyira számottevő bennük, hogy könnyen kimutatható. (Az I. populációs csillagok ezután jöttek létre, ők már fémgazdag csillagok.)

A csillagok abszolút – távolságtól független – fényessége kb. a +10 és a -14 magnitúdó határok között mozog, nem számítva a leghevesebb csillagrobbanásokat: az Ia típusú szupernóvák a vizuális sávban -18,6 magnitúdó körüli fényességet is elérnek. A HST-vel detektált leghalványabb – látszó fényességű – csillagok 26 és 28 mag-sak (az NGC 6397 gömbhalmazban), ezek vörös, illetve fehér törpék.

A fényesebb csillag messzebbről is idelátszik. A Proxima Centauri tőlünk mintegy 4,2 fényévre van, de szabad szemmel nem látszik, mert 11 magnitúdós a látszó fényessége, abszolút fényessége pedig +15,49 a vizuális sávban. Eleve halvány ez a Napnál nyolcszor kisebb tömegű törpecsillag, a távolsága még tovább halványítja.

A Hattyú csillagkép főcsillaga, a Deneb (Alfa Cygni) viszont az éjszakai égbolt 19-ik legfényesebb csillaga, holott háromszáz-ötvennégyszer messzebb van tőlünk, mint a Proxima (a Deneb távolsága a Naprendszertől kb. 1500 fényév). Azért látszik 1,3 magnitúdósnak szemmel, mert vizuális abszolút fényessége kb. -7,5. Ez magyarázza, hogy sokkal nagyobb távolságból is könnyebben észrevesszük, mint a Proximát. (2006-os adatbázis szerint egyébként a legnagyobb ismert abszolút fényeségű csillag az LBV 1806-20 névre hallgató fényes kék változócsillag  mag-val. Valószínűleg 36 naptömegű és valószínűleg van egy kísérőcsillaga. 40 ezer fényév a távolsága. Vizuálisan nem látszik a galaxisbeli porködök és gázfelhők fényelnyelő hatása miatt, de két mikrométeren nyolc magnitúdós már.)

Elméletben tehát a fényesebb csillagot távolabbról is megpillanthatjuk. Milyen messze van a legtávolabbi ismert csillag?

Néhány közelebbi és távolabbi galaxisban nagy földi és az űrtávcsövekkel különálló csillagokat is láthatunk. Hubble is úgy bizonyította a galaxisok létét, hogy 1925-ben közölt cikkében megmutatta, a 2,5 méteres Hooker-távcső csillagokra bontja az NGC 6822 galaxist. A legtöbb nagyon távoli galaxist azonban távcsöveink sem bontják különálló csillagokra, csak egy összefüggő fényfoltnak látszanak a műszerekben.

De ennél még sokkal távolabbról is detektálhatunk csillagokat, ha figyelembe vesszük, hogy gravitációs lencsehatás akár 100-szorosára vagy jobban is felerősítheti a csillag fényét.

A Hubble Űrtávcső (Hubble Space Telescope, HST) 2011-ben egy váratlan kifényesedést észlelt: a kinagyított képrészleten akkor semmi nem látszott a nyíllal megjelölt helyen, de a 2016-os képen már feltűnt egy fényes csillagszerű fényfolt. Az elemzések alapján úgy tűnik, hogy egy kék szuperóriás csillag fényét erősítette fel jó 2000-szeresére egy előtte elhaladó halványabb, műszereink detektálási határa alatt maradó csillag. Amennyiben tényleg nem egy szupernóva, hanem gravitációs lencsehatás eredménye a fénypötty, akkor z=1,5-ös vöröseltolódásnál van eredetileg csillag, aminek a képét az előtte elhaladó objektum  felerősítette.

Van némi bizonytalanság, mit is észleltünk, de ha a gravitációs mikrolencsehatás-interpretáció helyes, akkor ez a legtávolabbi észlelt csillag, kb. 9 milliárd fényévre tőlünk. (Vagyis messzebb van, mint a képen bemutatott galaxishalmaz, amin részleteket is látunk. A képen látható galaxisok egyik, nagyon halvány, ezért nem látott csillaga is felelős lehet a mikrolencse-hatásért.)

 

A gravitációs lencsehatások egyes típusairól itt írtunk korábban:

http://vcse.hu/ha-a-fekete-lyukak-utkoznek/

http://vcse.hu/gravitacios-mosoly/

http://vcse.hu/mai-kep-kvazar-negyszer-csizmadia-szilard/

hhttp://vcse.hu/einstein-gyuruk-csizmadia-szilard/

A Sharpless 202 egy hatalmas hidrogénfelhő rendszer, melyben a Stock 23-as számú nyílt csillaghalmaz helyezkedik el.

VCSE - Sharpless 202 - Schmall Rafael
VCSE – Sharpless 202 – Schmall Rafael

A vörös a hidrogén emissziója, de például atomos oxigén egyáltalán nincs a területben.  A sötét kar egy porfelhő, mely teljesen elfedi a mögöttük világító csillagok fényét. A csillaghalmaz előterében további porfelhők vannak, melyek halvány derengést adnak a területnek. A szomszédságban a vdB 14 és 15 van, melyeknél több reflexiós csillagköd is található. A kis csillaghalmazt akár kistávcsővel is megtalálhatjuk a Camelopardalis (Zsiráf) csillagképben. 

A kép adatai:

Távcső: SkyWatcher 200/800 Newton
Mechanika 1: SkyWatcher AZ-EQ-6 Pro mechanika
Mechanika 2: SkyWatcher EQ-6 Pro mechanika SynScan vezérléssel
Kamera: Canon EOS 1100D (átalakított)
Vezetőegység: Lacerta/MGEN standalone autoguider
Szűrő 1: Astronomik IR/UV-Block CCD-szűrő
Szűrő 2: Astronomik Ha 12nm EOS Clip
Korrektor: SkyWatcher kómakorrektor f/4 távcsövekhez
Exp. idő: 280×300 sec RGB, ISO800
Helyszín: Zselici Csillagpark

Stewart Sharpless-ről és katalógusáról itt lehet bővebben olvasni. Sidney van den Berg vdB-katalógusáról pedig pár szóban itt emlékeztünk meg. (A vdB katalógust sokszor VdB rövidítéssel lehet megtalálni, máskor VDB-vel, utóbbi biztosan helytelen – a szerk.)

VCSE - A Nagy- és a Kis-Orion-köd - Majoros Attila
VCSE – A Nagy- és a Kis-Orion-köd – Majoros Attila

A kép a Nagy- és a Kis Orion-ködöket ábrázolja. Guernsey-szigetről készítettem erős, 56-72 km/h-s szélben a képeket 2018. március 4/5-e éjszakáján 200/1000-es Newton-távcsővel, Baader MPCC MkIII kómakorrektorral, és Canon EOS 60D átalakított fényképezőgéppel. Egy IDAS LPS-D1 Eos fényszennyezés-elleni szűrő is használatban volt, amivel egyben az éjszakai égbolt légkörfényét (angolul airglow vagy nightglow)  is csökkenteni lehet. A vezetést egy 50/210-es távcsőre tett Lacerta MGEN-nel oldottam meg. A távcső a Skywatcher cég EQ-6R mechanikájára volt feltéve.

Expozíciós idők: 45×10 sec, 31×1 perc és 12×5 perc ISO 800 érzékenységen. (8/10-es átlátszóásg, 4/10-es nyugodtság, 6°C.)

Ezek az expozíciós idők megfelelőek voltak ahhoz, hogy a képek összeillesztése után a Trapézium ne égjen be (rövid exp. idők), de a nagyon halvány ködrészletek is előjöjjenek a hosszabb expozíciós idejű képeken. A Trapézium a kép közepén lévő, egymáshoz nagyon szorosan látszó négy csillagot jelenti, amelyek a valóságban is négyes rendszert alkotnak. (Sőt, többszöröset, mert közülük kettő fedési kettőscsillag.) A Nagy-Orion-köd legfényesebb részén foglal helyet ez a szép csillagalakzat.

Valaha a fehéres sáv középen nem látszódott kisebb távcsövekkel, ezért az egyébként egybetartozó ködöt két külön ködként katalógizálták, méreteik alapján lettek Kis- és Nagy-Orion ködök (M43 és M42). Manapság ezért összefoglaló néven Orion-ködnek nevezik őket.

A következőkben az áprilisi amatőrcsillagászati megfigyelésekhez, illetve az észlelőhétvégére szeretnék ajánlani néhány objektumot.

A Nap áprilisban 06:00 (NYISZ) körül kel, 19:30 (NYISZ) körül nyugszik. (A NYISZ a nyári időszámítás rövidítése – NYISZ = UT + 2h, NYISZ=KözEI+ 1h, ahol UT a világidő, KöZEI a közép-európai idő rövidítése.) Az észlelés napnyugta után – témaválasztástól, távcső felállításától függően – körülbelül egy órával már elkezdhető. A csillagászati szürkület a napnyugta utáni, illetve napkelte előtti 1,5-2 órát felölelő időszak. Utolsó negyed április 8-án, újhold április 16-án, első negyed április 22-én, telehold április 30-án lesz. (Forrás: http://vcse.hu/).

Csillagászati szürkület alatt azt az időszakot értjük, amikor a Nap a -18° horizont alatti magasságot még nem éri el, de már legalább -12°-on vagy mélyebben van. A -18°-os érték elérése után áll be a teljes sötétség.

A Vénusz napnyugtakor megfigyelhető alacsonyan nyugati irányban, a Jupiter éjfél körül kel, a Mars és Szaturnusz napkelte előtt déli, délkeleti irányban látható. A Merkúr és Neptunusz már csak napkelte után figyelhetők meg, a Merkúr inkább csak a hónap vége felé. (Április 1-én alsó együttállásban a Nappal.)

Látványosabb események UT időzóna szerint (UT = NYISZ – 2 óra):

04.01. 21:41 Merkúr alsó együttállásban a Nappal
04.03. 03:50 A Mars és Szaturnusz 1,3°-os közelsége a Nyilas (Sagittarius) csillagképben. Előtte-utána napokban is a hajnali égen szép együttállást mutatnak be, ahogy egyre közelebb kerülnek egymáshoz, majd távolodnak egymástól az égen a legszorosabb együttállás után.
04.03. 21:13 A 87%-os fázisú Hold mögül kilép a Gamma Librae
04.07. 03:40 A Mars 7,1°-kal, a Szaturnusz 4,5°-kal keletre látható a 61%-os Holdtól a Nyilas (Sagittarius) csillagképben
04.18. 14:00 Az Uránusz együttállásban a Nappal
04.22 18:00 A Lyridák meteorraj maximuma
04.24 03:06 A Merkúr hajnali láthatósága
04.24 19:01 A Vénusztól 3,5°-kal északra látható a Fiastyúk nyílthalmaz, a Bika (Taurus) csillagképben
04.29 18:24 A Merkúr nyugati elongációja
04.30 19:42 A Jupiter 3,2°-kal délnyugatra látható a 99%-os, csökkenő fázisú Holdtól a Mérleg (Libra) csillagképben
Olvasd tovább

Johannes Kepler német csillagász 1609-ben tette közzé a bolygómozgásokra vonatkozó első két, és 1619-ben a harmadik törvényét.

Ebben a fejezetben Kepler I. törvényével fogunk foglalkozni.

Ez a törvénye így hangzik:

A bolygók olyan ellipszis alakú pályán mozognak a Nap körül, amelyek egyik gyújtópontjában a Nap áll.

Ma már tudjuk, hogy a törvény ennél sokkal általánosabb: más bolygórendszerekre, sőt kettőscsillagokra is vonatkozik. Amennyiben két galaxis vagy két nyílthalmaz igen távol van egymástól (tehát az árapályerőktől és a nem pontszerű tömegeloszlástól eltekinthetünk), még az egymás körül keringő galaxisokra vagy nyílthalmazokra is alkalmazható.

A törvény alkalmazásához érdemes felidézni az ellipszis néhány tulajdonságát.

VCSE - 1. ábra: az ellipszis. Az A1-A2 szakasz a nagytengely, az A1-C, illetve C-A2 szakaszok a fél nagytengelyek. A B1-B2 szakasz a kistengely, a B1-C, illetve a C-B2 szakaszok a fél kistengelyek. C az ellipszis centruma, F2 és F2 a két fókuszpont (gyújtópont). A fél nagytengelyek hosszát a-val, a fél kistengelyek hosszát b-vel jelöljük. Az F1-C, ileltve C-F1 szakaszok hossza, vagyis a centrumtól a fókuszpontokig mért és c-vel jelölt távolság az ún. lineáris excentricitás. A két fókuszpont tehát 2c-re van egymástól.
VCSE – 1. ábra: az ellipszis. Az A1-A2 szakasz a nagytengely, az A1-C, illetve C-A2 szakaszok a fél nagytengelyek. A B1-B2 szakasz a kistengely, a B1-C, illetve a C-B2 szakaszok a fél kistengelyek. C az ellipszis centruma, F2 és F2 a két fókuszpont (gyújtópont). A fél nagytengelyek hosszát a-val, a fél kistengelyek hosszát b-vel jelöljük. Az F1-C, illetve C-F1 szakaszok hossza, vagyis a centrumtól a fókuszpontokig mért és c-vel jelölt távolság az ún. lineáris excentricitás. A két fókuszpont tehát 2c-re van egymástól.

Az ellipszisnek két gyújtópontja van, amelyeket az 1. ábrán F1-gyel és F2-vel jelölünk. Az ellipszis azon pontok halmaza, amelyeknek az F1-től és az F2-től mért távolságának összege állandó:

(1)          

Amennyiben az F1 és F2 gyújtópontok – nevezik őket fókuszpontoknak is – egybeesnek,  akkor kört kapunk. A kör tehát az ellipszis speciális esete.

Ebből következik, hogy ha egy falapra leszúrunk két szöget és azokhoz rögzítünk egy-egy madzagot, akkor ellipszist rajzolhatunk a madzagok összekötött közös végeire tett ceruzával. A kör rajzolását 1:30-tól, az ellipszisét 5:05-től mutatja be ez a videó, ami asztalosmunkákat ismertet.

Az egyik gyújtóponttól az ellipszis egy pontjáig húzott egyenest vezérsugárnak nevezzük. A bolygót és a Napot összekötő egyenes tehát a vezérsugár. Az 1. ábrán, ha a Nap pl. az F1 fókuszpontban van, akkor az r1 szakasz lehet a vezérsugár.

Az ellipszis nagytengelye az ellipszis két átellenes pontját úgy köti össze, hogy a két fókuszpont ráesik. A csillagászati gyakorlatban ennek felét, a fél nagytengelyt szoktuk használni, és a-val jelöljük. A két fókuszpont között van félúton az ellipszis C-vel jelölt centruma.

Az ellipszis kistengelye a C középpontban a nagytengelyre állított azon merőleges szakasz hossza, aminek végpontjait a szakasszal egybeeső egyenesnek az ellipszissel való metszéspontjai jelölnek ki. A kistengely hossza helyett is a fél kistengelyhoszt használjuk, amit b-vel jelölünk.

A centrum és az egyik fókuszpont távolsága a lineáris excentricitás, amit c-vel jelölünk. Be lehet bizonyítani – de ezt a bizonyítást a középiskolai matematika órákra meghagyjuk -, hogy

(2)          

Vagyis a fél nagytengely négyzete egyenlő a kistengely és a lineáris excentricitás négyzeteinek összegével. A fél nagytengelyek végei, a B1 és a Bpontok tehát a fókuszpontoktól éppen fél nagytengelynyi távolságra vannak. A bolygók tehát éppen akkor vannak fél nagytengelynyi távolságra a Naptól, amikor a kistengely végpontjaira érnek pályájukon.

A pálya elnyúltságát az excentricitással mérjük. A csillagászatban a lineáris excentricitás helyett inkább a numerikus excentricitást használjuk, amit e-vel jelölük és ami egyszerűen a lineáris excentricitásnak a pálya fél nagytengelyéhez viszonyított hossza:

(3)         

 A (3)-ik egyenletet a másodikba téve és némi egyenletrendezést végrehajtva, egy, a csillagászatban nagyon gyakran használt összefüggést kapunk:

(4)          

A (4)-ik egyenlet szerint függ tehát az excentricitás az ellipszispálya b kistengelyétől és a nagytengelyétől. Mint említettük, e a numerikus excentricitás lenne, de a csillagászatban és másutt sokszor elhagyják a numerikus jelzőt, és csak excentricitásnak nevezik. Jobb helyeken azonban megadják ezek neveit. Nagyon régen használták az ún. excentricitási szöget: , ami lényegében annak a szögnek a szinusza, amennyivel egy kört meg kell dönteni ahhoz, hogy vetületben az adott excentricitású ellipszist lássuk. A mai csillagászati gyakorlatban ez a szög már szinte soha nem fordul elő (vizuális valódi kettőscsillagok modellezésében nagy néha használják még).

 

VCSE - A sárga csillagtól mérve egy bolygó pályáján a piros szakasz hossza a q napközelpont-távolság, a zöld szakasz Q hossza a naptávolpont távolsága.
VCSE – 2. ábra: A sárga csillagtól mérve egy bolygót illetően a piros szakasz hossza a q napközelpont-távolság, a zöld szakasz Q hossza a naptávolpont távolsága.

A 2. ábrán az ellipszispályán mozgó égitestnek a pályáján a legkisebb közelségét (P) és legnagyobb távolságát (A) jelöltük be. Napközelpontnak a Nap és a bolygó legkisebb távolságát (jele: q), naptávolpontnak a Nap és a bolygó legnagyobb távolságát nevezik (jele: Q). Ezek természetesen a nagytengelyre esnek, és a 2. ábrán P és A jelöli őket. P a perihélium (napközel), A az afélium (naptávol) görög eredetű szó rövidítése. Ellipszispálya sok más esetben is megvalósul. Pl. a Hold vagy egy műhold a Föld körül földközelben (perigeum) vagy földtávolban (apogeum) van. A Jupiter holdjai esetében jupiterközelről (perijovium) vagy jupitertávolról (apojovium) beszélünk. Egy kettőscsillag esetén a két csillag közelpontját periasztronnak, legnagyobb távolságának pontját aposztronnak nevezzük. Ugyanígy, egy exobolygó a csillaga körül periasztronban vagy aposztronban lehet. Könnyű rájönni, hogy a peri mindig a közelpont, az apo a távolpont összetételében fordul elő. Megjegyzendő, hogy így használva a görög eredetű szó latinizált magyaros változatát emlegetjük. (Angolul a megfelelő szakszavak: perihelion, aphelion, perigee, apogee. perijovian, apojovian, periastron, apostron).

A csillagászatban két szöget: az excentrikus anomáliát (jele: E) és a valódi anomáliát (nemzetközileg inkább f-fel jelölik, a magyar tankönyvekben inkább v-vel, eredetileg pedig görög nü lehetett) különösen sokat használnak. A 3. ábra mutatja e két szög jelentését:

VCSE - 3. ábra: A v valódi anomália és az E excentrikus anomália szögek jelentése
VCSE – 3. ábra: A v valódi anomália és az E excentrikus anomália szögek jelentése

Excentrikus anomália: az ellipszis C centrumánál lévő szög, amely a csillag (vagy ezzel egyenértékűen a P közelpont) és a bolygó által bezárt szöget adja meg.

Valódi anomália: a csillag (bolygó stb. vonzótest) által elfoglalt gyújtópontban lévő szög, amely a csillagtól stb. nézve a közelpont iránya és a bolygó (hold stb.) felé húzott egyenes közti szöget adja meg.

Mindezek ismeretében végre megadhatjuk Kepler I. törvényének matematikai alakját.

Az excentrikus anomáliával kifejezve az I. törvény az alábbi alakban írható:

(5) ,

a valódi anomáliával kifejezve pedig

(6) 

Néha az egyik, néha a másik kifejezés használata az egyszerűbb vagy a célszerűbb.

  1. feladat:

Kepler I. törvénye alapján határozzuk meg, hogy hogyan lehet kifejezni egy bolygó napközelségét és naptávolságát a fél nagytengely és az excentricitás segítségével!

Megoldás:

Napközelben a Nap-bolygó távolság q, a naptávolság Q:

Itt E1 és E2 az excentrikus anomália értéke napközelben, illetve naptávolban. A 3. ábrára tekintve nyilvánvaló, hogy E1 = 0° napközelben és E2 = 180° naptávolban. 0° koszinusza 1, 180° koszinusza pedig -1. Ezeket behelyettesítve kapjuk, hogy

(7) 

A napközelség és a naptávolság tehát a fél nagytengely és az excentricitás függvénye. Hasonlóképpen, egy kettőscsillagban a két csillag legkisebb és legnagyobb távolságát is fél nagytengelyük és excentricitásuk határozza meg.

Ha pl. körpályán mozog a bolygó a Nap körül, akkor az excentricitás nulla (e=0), a pálya kistengelye és nagytengelye egyforma. Ekor q=Q, vagyis a pálya minden egyes pontja napközelpont és naptávolpont egyszerre. (Nyilván ilyenkor nincs értelme napközelről és naptávolról beszélni, körpályán a két égitest egymástól mért távolsága nem változik.)

Eredményünk a Nap körül mozgó üstökösökre és kisbolygókra is igaz (sőt, minden Nap körül a kölcsönös gravitációs erő hatására, vagy két, egymás körül a kölcsönös gravitációs vonzás hatására keringő égitestre igaz). Az üstökösök pályája gyakran nagyon elnyúlt, az excentricitás 0,9 is lehet. A (4)-ik egyenletből kiszámolható, hogy ilyenkor a kistengely és a nagytengely méretaránya

,

vagyis a kistengely a nagytengely hosszának 43,6%-a. Az is kiszámolható, hogy egy ilyen égitestnek a napközelpontja a fél nagytengely 10%-ára van a Naptól, naptávolpontja meg 190%-ára:

.

Ha pl. az üstököspálya fél nagytengelye 20 Csillagászati Egység (CSE), akkor a napközelpont 2 CSE-re van a Naptól, a naptávolpont pedig 38 CSE-re az adott e=0,9-es excentricitás esetére.

2. feladat

Az előző feladat fordítottja: ha tudjuk, hogy egy üstökös naptávolban 21,5 CSE-re jár a Naptól, napközelben pedig 0,5 CSE-re, akkor mennyi az üstököspálya fél nagytengelye és excentricitása?

A megoldáshoz írjuk egymás alá a napközelséget és a naptávolságot kifejező egyenletet:

A két egyenletet összeadva kapjuk, hogy:

,

amiből a fél nagytengely:

A megadott számérékeket behelyettesítve a fél nagytengelyre a=11 CSE adódik. Az excentricitás meghatározásához a két egyenletet vonjuk ki egymásból:

Átrendezés után látjuk, hogy

Behelyettesítés után kapjuk,  hogy a példabeli számadatok esetén az üstökös excentricitása e = 0,9545 (négy tizedesjegyre).

3. feladat

Mennyi az (1)-es egyenletben szereplő d állandó értéke?

Megoldás: Nyilván az ellipszispálya bármelyik pontjára felírhatjuk az összefüggést, ugyanazt a d-t kell kapnunk. Ha az égitest a P perihéliumpontban van, akkor távolsága a közelebbi fókuszponttól éppen a napközelség: q=a(1-e), a másik fókuszponttól pedig a+c távolságra van, ahogy az az ábrákból kitűnik. Tehát:

A d állandó tehát éppen az ellipszis nagytengelyének hosszával egyezik meg!

Megjegyzések:

(1) Az I. Kepler-törvényhez megjegyezzük, hogy míg Kepler a bolygók, elsősorban a Mars Tycho által kapott megfigyelési adataival jutott el, Newton a gravitációs törvényből elméleti úton levezette és ugyanazt kapták. Newton eredménye azonban általánosabb, mert elméletileg megfogalmazva az I. Kepler-törvényt az elméleti mechanikában azt mondjuk, hogy “a kölcsönös gravitációs vonzás hatására az egyik pontszerű égitest a másik pontszerű égitest körül kúpszelet alakú pályán mozog: ha az energia minimális, akkor az excentricitás nulla és a pálya kör; ha az energia negatív, akkor az excentricitás nulla és egy közé esik, és a pálya ellipszis alakú; ha az energia nulla (vagyis a gravitációs energia és a mozgási energia egymást semlegesíti), akkor az excentricitás eggyel egyenlő és a pálya parabola alakú; ha pedig az energia pozitív, akkor az excentricitás egynél nagyobb és a pálya hiperbola alakú. (Ha pedig a perdület nulla, akkor a pálya egyenes.)”

A kör, ellipszis, egyenes, parabola és hiperbola mind kúpszeletként kapható meg: egy kúp és egy sík megfelelő szögben történő metszésekor a metszés vonala adja ezeket az alakzatokat. Ezek részleteivel azonban itt nem foglalkozunk, az amatőrcsillagászatban ezek a metszések nagyon ritkán kerülnek elő.

(2) Az I. Kepler-törvény fentiekben írt alakja a valódi anomáliával ezekre az esetekre is érvényes. Mindössze azt kell megjegyezni, hogy hiperbola alakú pályákra a fél nagytengely negatív értéket vesz fel! Mivel a (6)-ik egyenletben az excentricitás egynél nagyobb:

(6)          ,

ilyenkor a negatív fél nagytengely a zárójelben lévő negatív kifejezéssel szorzódik és az r távolság pozitív lesz. Némely tankönyvben azonban másként járnak el hiperbola-pálya esetén. A (6)-ik egyenletet csak kör-, ellipszis és parabola pályákra veszik érvényesnek, és hiperbola-pályára

alakot vesznek. Ekkor a hiperbola-pálya fél nagytengelye is pozitív szám lesz. Ez igazából csak konvenció (megállapodás) kérdése, a végeredményben különbség nincs – mindössze azt kell tudnunk, hogy melyik megállapodást követjük. Ebben a cikksorozatban mindig a (6)-ik egyenletet vesszük hiperbolára is, tehát azok pályájának fél nagytengelye negatív szám lesz.

(3) Kepler – mintegy 80 évvel Newton előtt – annyit mondott ki, hogy a bolygók ellipszis alakú pályán keringenek a Nap körül, és a Nap az ellipszis egyik fókuszpontjában áll. Newton mechanikája nyomán tudjuk, hogy Kepler I. törvénye ebben a formában csak akkor igaz, ha a koordinátarendszerünk kezdőpontját (origóját) a Nap (tömeg)középpontjához rögzítjük. Valaki azonban választhat egészen más koordinátarendszert is, pl. egy végtelen távoli megfigyelőhöz rögzítetett, aki olyan messze van, hogy rá a Nap gravitációs vonzóereje már elhanyagolható. (Természetesen Newton szerint hat rá a Nap gravitációja, ha van a megfigyelőnek tömege, de ha nagyon messze van, akkor ez olyan gyenge, hogy elhanyagolható effektust jelent.) Vagy rögzíthetjük egy tömeg nélküli testhez, vagy egy képzeletbeli ponthoz is az origót. Ilyen koordinátarendszerben mindkét égitest a közös tömegközéppont körül fog kúpszelet-alakú pályán mozgást végezni, ahogy a 4. ábra mutatja:

VCSE - 4. ábra: Ha a koordinátarendszerünket nem a gravitációs kölcsönhatásban résztvevő egyik test középpontjába tesszük, akkor a közös tömegközéppont (az ábrán TKP) körül keringenek. A két testet 1-gyel és 2-vel jelöltük meg, tömegeik M1 és M2, a közös tömegközéppont körül lévő pályáik fél nagytengelye a1 és a2.
VCSE – 4. ábra: Ha a koordinátarendszerünket nem a gravitációs kölcsönhatásban résztvevő egyik test középpontjába tesszük, akkor a közös tömegközéppont (az ábrán TKP) körül keringenek. A két testet 1-gyel és 2-vel jelöltük meg, tömegeik M1 és M2, a közös tömegközéppont körül lévő pályáik fél nagytengelye a1 és a2. A két testet most is az r vezérsugár köti össze.

A tömegközéppont az a pont, ami a két testet összekötő r vezérsugarat a tömeggel fordított aráynabn soztja fel (a fizikában a tömegközéppontot ennél sokkal általánosabban definiálják, de nekünk a Kepler-törvények alkalmazásához ennyi elegendő):

vagy ezzel egyenértékűen:  , továbbá igaz, hogy , ahol a annak a pályának a fél nagytengelye, amit az egyik test ír le a másik körül. Érdemes tudni, hogy a TKP körüli mozgáskör maga a TKP az egyik fókuszpont, de ha az egyik égitestre vonatkoztatjuk a másik mozgását, akkor a másik égitest középpontja a fókuszpont.

Természetesen, a térben ugyanott mozognak a testek. Az alábbi kis animáció mutatja, hogy a testek mozognak a közös tömegközéppont körül, de ha az egyik csillag mozgását a másikra vonatkoztatjuk, akkor az is ellipszispálya lesz:

E fenti videón az látható, hogy két égitest – például két csillag, amelyeket a sárga és a piros korong jelképez  – kering a közös tömegközéppont körül. (A közös tömegközéppont mozoghat pl. a Tejútrendszerben és vele együtt a kettőscsillag is, de ez a lényegen már nem változtat.) A két csillag a két, folytonos vonallal rajzolt ellipszisen mozog. E két ellipszis fókuszpontja egyben a közös tömegközéppont. A szaggatott vonallal jelölt ellipszis fókuszpontjában mindig a pirossal jelölt csillag áll! Ez az ellipszis együtt mozog a piros csillaggal.  A szaggatott ellipszis nagytengelye a két másik ellipszis nagytengelyének összegével egynelő. Látható, hogy a sárga csillag mindig a piros csillaggal együttmozgó ellipszisen marad, tehát a sárga csillag is ellipszispályán mozog a piros csillag körül, nemcsak a tömegközéppont körül. Szimmetriaokokból hasonló  igaz a sárga csillagra is a piros körüli pályáján, de a zsúfoltság elkerülése végett a másik ellipszist nem rajzoltuk be. A pálya fókuszpontja tehát egybeeshet a tömegközépponttal (ha a pályákat a TKP-ra vonatkoztajuk), vagy lehet az egyik csillagban (ha a pályát a másik csillag centrumára vonatkoztatjuk.) Értelemszerűen hasonló igaz a Nap-bolygó, bolygó-hold stb. rendszerekre is. Sőt, ezek a fókuszpontok egyszerre is előfordulnak, hiszen a koordinátarendszereket egyidejűleg is használhatjuk.

Érdekességképpen bemutatjuk, hogy ha körpályán kering egymás körül két pontszerűnek tekinthető égitest, akkor a tömegközéppont körüli pályák körök, de nem meglepő módon az egyik égitest pályája a másik körül szintén kör:

 

A Naprendszerben a Nap tömege kb. 330 ezerszer nagyobb a Földénél, de még a legnagyobb bolygónál, a Jupiter tömegénél is 1047-szer nagyobb. Ezért a Napnak a közös tömegközéppont körüli pályája a1 fél nagytengelye sokkal kisebb a bolygópályák közös tömegközéppont körüli pályájának a2 fél nagytengelyénél. Annyira, hogy a Nap a1 fél nagytengelye minden bolygóra vonatkoztatva a Nap sugaránál kisebb, tehát a Nap belsejében marad. (Ha az összes bolygó hatását együtt nézzük, akkor nagyon ritkán fordul elő, hogy rövid időre a Nap felszínén kívülre kerül a Naprendszer összes bolygójának és központi csillagának közös tömegközéppontja.) Ezért Kepler nem vehette észre, hogy a közös tömegközéppont és a Nap centruma különbözik a Naprendszerben. Csak sokkal később, a kettőscsillagokál tűnt fel először ez az effektus mérhető mértékben. (Ma már, pl. exobolygók radiális sebességgörbe-méréseiben figyelembe kell venni, hogy a Nap is mozog a TKP körül: a mai radiális sebességgörbe-méréseket már nem a Nap centrumára vonatkoztatjuk, mint régen, hanem a Naprendszer TKP-jára.)

 

A “Csillagászat elemei” c. cikksorozatban közölt cikkek a szerző engedélye nélkül semmilyen más honlapon, könyvben, cikkben, hírben, stb. nem használhatók fel. Minden jog fenntartva. Lektorálta: Klagyivik Péter.